一辈子总有必要好好研究一次形而上学的诸原则
授权信息：本文转载自介君的微信公众号，已获授权，原文链接：波西米亚的伊丽莎白公主与笛卡尔通信集（六）
女士，
我从波罗先生那儿得知，殿下您已经费心去思考那个三圆问题(the problem of three circles)了[2]。她假设了一个未知数，找到了这个问题的解法。我认为有责任在此说明，我为何要使用一些未知数，而我又会以怎样的方式解出它们。
在思考一个几何问题时，我总是尽可能地让那些直线相互平行或者彼此垂直，来找到问题的解法。我不会考虑其他定理，只考虑相似三角形的三条边呈怎样的相似比例，比如直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。我不担心假设更多未知数，会把问题简化为这些项，从而使它们仅仅依靠这两个定理。相反，我倾向于假设更多而非更少的未知数。因为，通过这种方法可以更清楚地看到我所做的一切。在解它们的过程中，我能够更顺利地找到最短路径，并避免多余运算。另一方面，如果一个人画出别的线段，并使用别的定理，尽管可能碰巧找到比我的方法更短的捷径。但总的来说，这种情况几乎很少。除非一个人所使用的定理完全呈现在他脑海之中，不然的话，这个人是不知道自己在做什么的。这种情况下，人们几乎总会发现，他正在思考的三角形，既非直角三角形，也不与另一些三角形相似。于是，他就又回到我选择的路径上来了[3]。
举例来说，思考这个三圆问题时，我们只需假设一个未知数，并借助一个定理，即通过三角形的三条边求得其面积。假设A、B和C是三个已知圆的圆心，且D是我们所要求的圆的圆心，已知三角形ABC的三条边，而AD、BD和CD三条线段又是由三个已知圆的半径和那个我们要求的圆的半径共同组成。所以，假设未知圆半径为x，那么，我们就能得到三角形ABD、ACD和BCD的所有边长。【见图1[4]】
因此，我们可以将它们(这三个三角形)的面积相加，得到的面积与三角形ABC的相同。通过该方程 (equation)，我们可以解出半径x，我们需要它来解决这个(三圆)问题。但是在我看来，这个方法需要许多的运算，我可不想花上三个月来解决它们。这就是为什么，我选择BE、DG和DF三条垂直线，来替代两条斜边AB和AC。设三个未知数，作为DF的长度、DG的长度，以及我所求的圆的半径。这样，我就有了ADF、BDG和CDF三个直角三角形的所有边长。由于直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和，我就得到了三个方程。【见图2和图3】
通过设定未知数得到了诸多方程之后，我考虑是否能够从每个方程中，找到一个足够简单的项(terms)。如果做不到，那我就要将两个或多个方程相加减来得到这样的项。最后，除非这也不满足，那我才会检查一下，是否有什么方法能够换一些项更好。因为，熟练地进行这般检查，人们很容易就能找得到最短路径，并试着在非常有限的时间里做无穷多的事。
那么，在这个例子中，我假设三角形的三条边分别是：
（以下使用了英译版上的公式截图，双写字母即表示平方）
我发现，每个方程都无法独立解出未知数，除非开平方根，但那会把问题变得太过复杂。这就是为什么我选择了第二种办法，将两个方程联立。我只知道三个方程中都有xx、yy和zz，我想，如果我用其中一个方程减去(take away…from)另一个，它们就彼此消去，于是我就只剩下x、y和z这三个未知数了。我也知道，假使我用第一或者第三个方程减掉第二个方程，我会得到所有三个未知数x、y和z。但如果我用第三个方程减掉第一个，那我就只剩下x和z了。因此，我选择后一种办法，得到：
最终，回到三个方程之一，将y或z的等式代入其中，并算出它们的平方yy和zz。我们就得到了一个只有x和xx未知的等式。这样，问题就变简单了，是一个二次方程问题，也就没有必要继续下去了。因为，剩余部分只是锻炼一个人精心运算的耐心，而无助于培养心灵，或者使之愉悦。即便如此，我还是担心自己会让殿下您感到厌烦，因为我停止写作的那些东西，她无疑比我更为了解。这些东西很简单，但它们也是我代数学(algebra)的关键。我谦卑地请求她相信，我怀着忠诚尊敬她，也正是这份忠诚让我不得不离开她。就写到这里，女士，
殿下您最谦卑和顺从的仆人
笛卡尔
[1]维比克等人编写的《通信》能够查找笛卡尔与波罗的通信记录，更精准地确定这封信的时间。他们也提到，大英图书馆拥有这封信件的两个手稿副本与以及随后的信件，都在托马斯·比尔奇(Thomas Birch)所搜集的文件中（Add. 4278 [Birch],fols. 150r–151v and Add. 4278 [Birch], fols. 159r–160v.）。这些文件中也有约翰·佩尔的文件和书信，因此表明佩尔拥有副本。其中两个副本是佩尔翻译的。（此注释似乎解释了CSMK为何没有收录这封信。伊丽莎白公主的下一封回信可以说明，与上一封通信间隔的这段时间里，她做了什么，以及为何笛卡尔会突然关注到她所面对的几何学问题。——译者注）
[2]这里的问题是，求出第四个圆的半径，这个圆的圆周与给定的三个圆相切(touch)，也就是通常所说的阿波罗尼斯问题。一例失败似乎是从约翰·斯坦皮恩(Johan Stampioen)所写的一本教科书《Algebra ofteNieuve Stel-Regel》上学习几何的，而这本书遭到了笛卡尔的批评。参见斯蒂芬·格克罗格尔(StephenGaukroger)的《Descartes: An Intellectual Biography(笛卡尔：一位知识分子的传记)》（纽约：牛津大学出版社，1995），334-335,387。提出这个问题后，笛卡尔担心他把标准设得太高了。参见他1643年10月21日写给波罗的信，AT 4:26。
[3]笛卡尔在此重申了他在《几何学》中阐述并论证的方法，1637期间他将这部分内容作为一篇文章，同《谈谈方法》一起发表。
[4]这些数字是克莱尔色列(Clerselier)加上去的。
